コーシー・シュワルツの不等式
式と証明a, b, c, x, y, z が実数の時、
\( (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) \geqq (ax + by + cz)^2 \)
\( \begin{eqnarray}
左辺 &=& a^2x^2 + a^2y^2 + a^2z^2 + b^2x^2 + b^2y^2 + b^2z^2 + c^2x^2 + c^2y^2 + c^2z^2 \\
右辺 &=& a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 + 2abxy + 2bcyz + 2cazx \\
左辺 – 右辺 &=& (a^2y^2 – 2abxy + b^2x^2) + (b^2z^2 – 2bcyz + c^2y^2) + (z^2z^2 – 2acxz + c^2x^2) \\
&=& (ay – bx)^2 + (bz – cy)^2 + (az – cx)^2
\end{eqnarray} \)
\( (ay – bx)^2 \geqq 0, (bz – cy)^2 \geqq 0, (az – cx)^2 \geqq 0\) なので \( 左辺 – 右辺 \geqq 0 \) すなわち、\( 左辺 \geqq 右辺 \) である。
\( 左辺 \geqq 右辺 \) つまり \( 左辺 – 右辺 = 0\) が成り立つのは
\( ax – by = 0 \) かつ \( bz – cy = 0 \) かつ \( az – cx = 0 \)
よって
\( ax = by \) かつ \( bz = cy \) かつ \( az = cx \)
を満たす時であり、つまり、
\( a:b:c = x:y:z \)
を満たすときである。