二項定理
式と証明\( \begin{eqnarray}
(a + b)^n &=& {}_n C_0 \cdot a^{n} \cdot b^{0} + {}_n C_1 \cdot a^{n-1} \cdot b^{1} + {}_n C_2 \cdot a^{n-2} \cdot b^{2} + \ldots + {}_n C_n \cdot a^{0} \cdot b^{n} \\
&=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n} ( {}_n C_k \cdot a^{n-k} \cdot b^{k} )
\end{eqnarray} \)
\( (a + b)^n \) の展開式の \( a^{n-k} \cdot b^{k} \) の項は n 個の因数 \( (a + b) \) から a を n – k 個、b を k 個取って、それらを掛け合わせて得られる項を全て加え合わせたものである。
それらの項は \( {}_n C_{n-k} = {}_n C_k \) 個※ であるから、\( a^{n-k} \cdot b^{k} \) の係数は \( {}_n C_k \) である。
※ \( {}_n C_{n-k} = \displaystyle \frac{n!}{\{n – (n – k)\}! \cdot (n – k)! } = \displaystyle \frac{n!}{ k! \cdot (n – k)! } = {}_n C_{k}\)
数学的帰納法による証明
n = 1 の時
\( \begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{k=0}^{1} ( {}_1 C_k \cdot a^{1-k} \cdot b^k ) &=& {}_1 C_0 \cdot a^1 \cdot b^0 + {}_1 C_1 \cdot a^0 \cdot b^1 \\
&=& a + b
\end{eqnarray} \)
n = m のとき与式が成立すると仮定すると
n = m + 1 の時
\( \begin{eqnarray}
(a + b)^{m + 1} &=& \left\{ \displaystyle \sum_{k=0}^m ({}_m C_k \cdot a^{m-k} \cdot b^{k}) \right\} (a + b) \\
&=& \displaystyle \sum_{k=0}^m ({}_m C_k \cdot a^{m-k \color{red}{+1}} \cdot b^{k}) + \displaystyle \sum_{k=0}^m ({}_m C_k \cdot a^{m-k} \cdot b^{k\color{red}{+1}}) \qquad \colorbox{pink}{ ← 左の項から k=0、右の項から k=m を取り出す } \\
&=& {}_m C_0 \cdot a^{m-0+1} \cdot b^{0} + \displaystyle \sum_{\color{red}{ k=1 }}^m ({}_m C_k \cdot a^{m-k+1} \cdot b^{k}) + \displaystyle \sum_{k=0}^{\color{red}{ m-1 }} ({}_m C_k \cdot a^{m-k} \cdot b^{k+1}) + {}_m C_m \cdot a^{m-m} \cdot b^{m+1} \\
&=& a^{m+1} + \displaystyle \sum_{k=1}^m ({}_m C_k \cdot a^{m-k+1} \cdot b^{k}) + \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} ({}_m C_k \cdot a^{m-k} \cdot b^{k+1}) + b^{m+1} \qquad \colorbox{pink}{ ← 3つめの項で k’=k+1 とする }\\
&=& a^{m+1} + \displaystyle \sum_{k=1}^m ({}_m C_k \cdot a^{m-k+1} \cdot b^{k}) + \displaystyle \sum_{\color{red}{ k’=1 }}^{\color{red}{ m }} ({}_m C_{\color{red}{ k’-1 }} \cdot a^{m-\color{red}{ k’+1 }} \cdot b^{\color{red}{ k’ }}) + b^{m+1} \qquad \colorbox{pink}{ k’=k とする }\\
&=& a^{m+1} + \displaystyle \sum_{k=1}^m ({}_m C_k \cdot a^{m-k+1} \cdot b^{k}) + \displaystyle \sum_{\color{red}{ k=1 }}^{m} ({}_m C_{\color{red}{ k-1 }} \cdot a^{m-\color{red}{ k+1 }} \cdot b^{\color{red}{ k }}) + b^{m+1} \\
&=& a^{m+1} + \displaystyle \sum_{k=1}^m \left\{ ({}_m C_k + {}_m C_{k-1}) \cdot a^{m-k+1} \cdot b^{k} \right\} + b^{m+1} \qquad \colorbox{pink}{ ← ※下記参照 }\\
&=& {}_{m+1} C_0 \cdot a^{m+1} \cdot b^0 + \displaystyle \sum_{k=1}^m ({}_{m+1} C_k \cdot a^{m+1-k} \cdot b^{k}) + {}_{m+1} C_{m+1} \cdot a^{(m+1)-(m+1)} \cdot b^{m+1} \\
&=& \displaystyle \sum_{k=0}^{m+1} ({}_{m+1} C_k \cdot a^{m+1-k} \cdot b^{k}) \\
\end{eqnarray} \)
\( \begin{eqnarray}
※ ({}_m C_k + {}_m C_{k-1}) &=& \frac{m!}{(m-k)! \cdot k!} + \frac{m!}{(m-k+1)! \cdot (k-1)!} \\
&=& \frac{m! \cdot (m-k+1)}{(m-k+1)! \cdot k!} + \frac{m! \cdot k}{(m-k+1)! \cdot (k)!} \\
&=& \frac{m! \cdot (m+1)}{(m+1-k)! \cdot k!} \\
&=& {}_{m+1} C_k
\end{eqnarray} \)