整式の重解条件

整式 \( f(x) \) が \( (x\ -\ \alpha)^2 \) で割り切れるための必要十分条件は
\( \quad f(\alpha) = f'(\alpha) = 0 \)
である。

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\( (x\ -\ \alpha)^2 \) は２次の式なので、\( f(x) \) を \( (x\ -\ \alpha)^2 \) で割った余りは１次以下の式になる。

\( f(x) \) を \( (x\ -\ \alpha)^2 \) で割った商を \( g(x) \)、余りを \( ax + b \) とすると、
\( \quad f(x) = (x\ -\ \alpha)^2 \cdot g(x) + ax + b \)
であり、
\( \quad f'(x) = 2(x\ -\ \alpha) \cdot g(x) + (x\ -\ \alpha)^2 \cdot g'(x) + a \)
である。

これより、
\( \quad
\left \{
\begin{eqnarray}
f(\alpha) &=& a \alpha + b \\
f'(\alpha) &=& a
\end{eqnarray}
\right. \)
\( \quad \therefore \quad
\left \{
\begin{eqnarray}
a &=& f'(\alpha)\\
b &=& f( \alpha ) – f'(\alpha) \cdot \alpha
\end{eqnarray}
\right.
\)

よって、
\( f(x) \) が \( (x\ -\ \alpha)^2 \) で割り切れる
\( \qquad \Longleftrightarrow \left \{
\begin{eqnarray}
&&a &=& 0\\
&&b &=& 0
\end{eqnarray}
\right. \)
\( \qquad \Longleftrightarrow \left \{
\begin{eqnarray}
&&f'(\alpha ) &=& 0\\
&&f( \alpha )\ -\ f'( \alpha ) &=& 0
\end{eqnarray}
\right. \)
\( \qquad \Longleftrightarrow \left \{
\begin{eqnarray}
&&f'(\alpha ) &=& 0\\
&&f( \alpha ) &=& 0
\end{eqnarray}
\right. \)
\( \qquad \Longleftrightarrow f( \alpha ) = f'( \alpha ) = 0 \)