隣接2項間の漸化式
数列等差数列
\( a_{n + 1} = a_n + d \quad \) (公差 \(d\) ) \( \qquad \qquad \qquad \qquad \to \qquad a_n = a_1 + (n\ -\ 1)d \)
等比数列
\( a_{n + 1} = r a_n \quad \) (公比 \(r\) ) \( \qquad \qquad \qquad \qquad \to \qquad a_n = a_1 r^{n – 1} \)
階差数列
\( a_{n + 1}\ -\ a_n = n(f) \quad \) ( \( f(n) \) は \( n \) の式) \(\displaystyle \qquad \qquad \to \qquad a_n = a_1 + \sum_{k = 1}^{n – 1}{f(k)} \quad (n \geqq 2) \)
\( a_{n + 1} = p a_n + q,\quad p \neq 1,\quad q \neq 0 \)
- 特性方程式を利用して、等比数列の形に変形する
\(a_{n+1},\ a_n \) の代わりに \( \alpha \) とおいた方程式 (特性方程式) \( \alpha = p \alpha + q \) から \( \alpha \) を決定すると
\(\qquad a_{n+1}\ -\ \alpha = p(a_n\ -\ \alpha) \)
よって、数列 \( \{ a_n\ -\ \alpha \} \) は初項 \( a_1 – \alpha \)、公比 \( p \) の等比数列
\(\qquad a_{n+1} = (a_1\ -\ \alpha) p^{n – 1} + \alpha \) - 階差数列を利用する
\( \qquad a_{n+1} = p a_n + q \qquad \cdots ① \)
とすると
\( \qquad a_{n+2} = p a_{n+1} + q \qquad \cdots ② \)
\( ②\ -\ ① \) から
\( \qquad a_{n+2}\ -\ a_{n+1} = p (a_{n+1}\ -\ a_n)\)
よって、階差数列 \( \{ a_{n+1}\ -\ a_n \} \) は初項 \( a_2\ -\ a_1 \)、公比 \( p \) の等比数列
\( a_{n+1} = p a_n + f(n) \qquad \) ( \( p \neq 1 \)、\( f(n) \) は \( n \) の整式)
- \( f(n) \) が \( n \) の1次式の場合、階差数列を利用する
\( \qquad a_{n+1} = p a_n + f(n) \qquad \cdots ① \)
とすると
\( \qquad a_{n+2} = p a_{n+1} + f(n + 1) \qquad \cdots ② \)
\( ②\ -\ ① \) から
\( \qquad a_{n+2}\ -\ a_{n+1} = p (a_{n+1}\ -\ a_n) + \{ f(n + 1)\ -\ f(n) \} \)
\( f(n + 1)\ -\ f(n) \) は定数であるから、\( q \)、\( a_{n + 1}\ -\ a_n = b_n \) (階差数列) とおくと
\( \qquad b_{n+1} = p b_n + q \) - \( a_n\ -\ g(n) \) を利用する
\( g(n) \) は \( f(n) \) と同じ次数の \( n \) の多項式とする。
\( a_{n + 1}\ -\ g(n + 1) = p \{ a_n\ -\ g(n) \} \) とおき、漸化式に代入して \( g(n) \) の係数を決定する。
数列 \( \{ a_n\ -\ g(n) \} \) は初項 \( a_1\ -\ g(1) \)、公比 \( p \) の等比数列
\( \qquad a_n = \{ a_1\ -\ g(1) \} p^{n-1} + g(n) \)
特殊な漸化式
\(\displaystyle a_{n+1} = p a_n + q^n \)
\( \qquad \dfrac{a_n}{q^n} = b_n \) とおいて \(\displaystyle \qquad b_{n + 1} = \dfrac{p}{q}b_n + \dfrac{1}{q} \)
\(\displaystyle a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p a_n + 1} \)
\(\displaystyle \qquad \dfrac{1}{a_n} = b_n \) とおいて \(\displaystyle \qquad b_{n + 1} = p + q b_n \)
\( a_{n + 1} = p a_n^q \)
\(\displaystyle \qquad \log_p{a_n} = b_n \) とおいて \(\displaystyle \qquad b_{n + 1} = 1 + q b_n \)