共分散、相関係数

共分散：\( S_{xy} = \displaystyle \frac{1}{n} \{ (x_1 – \bar{x})(y_1 – \bar{y}) + (x_2 – \bar{x})(y_2 – \bar{y}) + (x_3 – \bar{x})(y_3 – \bar{y}) + \cdots + (x_n – \bar{x})(y_n – \bar{y}) \} \)
相関係数：\( r = \displaystyle \frac{S_{xy}}{S_x \cdot S_y} \quad (-1 \leqq r \leqq 1) \)

共分散：\( S_{xy} = \displaystyle \frac{1}{n} \{ (x_1 – \bar{x})(y_1 – \bar{y}) + (x_2 – \bar{x})(y_2 – \bar{y}) + (x_3 – \bar{x})(y_3 – \bar{y}) + \cdots + (x_n – \bar{x})(y_n – \bar{y}) \} \)

\( \begin{array}{l l l}
S_{xy} \gt 0 のとき & x_n\ が\ \bar{x}\ より大きくなれば\ & y_n\ も\ \bar{y}\ より大きくなる \\
& x_n\ が\ \bar{x}\ より小さくなれば & y_n\ も\ \bar{y}\ より小さくなる \\
傾向になる
\end{array} \)

\( \begin{array}{l l l}
S_{xy} \lt 0 のとき & x_n\ が\ \bar{x}\ より大きくなれば\ & y_n\ は\ \bar{y}\ より小さくなる \\
& x_n\ が\ \bar{x}\ より大きくなれば\ & y_n\ は\ \bar{y}\ より小さくなる \\
傾向になる
\end{array} \)

相関係数：\( r = \displaystyle \frac{S_{xy}}{S_x \cdot S_y} \quad (-1 \leqq r \leqq 1) \)

\( \begin{array}{l l l}
正の相関係数： & x\ と\ y\ の一方が増えると & 他方も増える \\
負の相関係数： & x\ と\ y\ の一方が増えると & 他方は減る \\
\end{array} \)

\( \begin{array}{l l}
相関係数\ r\ が\ 1\ に近づくほど & 強い正の相関関係がある \\
相関係数\ r\ が\ -1\ に近づくほど & 強い負の相関関係がある \\
\end{array} \)