加法定理の応用

2倍角の公式

\( \begin{eqnarray*}
\sin 2\alpha &=& \sin (\alpha + \alpha) \\
&=& \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \cos \alpha \cdot \sin \alpha \\
&=& 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \\
\end{eqnarray*} \)

\( \begin{eqnarray*}
\cos 2\alpha &=& \cos (\alpha + \alpha) \\
&=& \cos \alpha \cdot \cos \alpha – \sin \alpha \cdot \sin \alpha \\
&=& \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha \\
&=& 2 \cos^2 \alpha – 1 \\
&=& 1 – 2 \sin^2 \alpha
\end{eqnarray*} \)

\( \begin{eqnarray*}
\tan 2\alpha &=& \tan (\alpha + \alpha) \\[5pt]
&=& \dfrac {\tan \alpha + \tan \alpha}{1 – \tan \alpha \cdot \tan \alpha} \\[5pt]
&=& \dfrac {2 \tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha} \\
\end{eqnarray*} \)

半角の公式

\( \sin^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac {1 – \cos \alpha}{2} \)
\( \cos 2\alpha = 1 – 2 \sin^2 \alpha \quad \) であるから \( \quad \sin^2 \alpha = \dfrac {1 – \cos 2\alpha}{2} \quad \) よって \( \quad \sin^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac {1 – \cos \alpha}{2} \)

\( \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac {1 + \cos \alpha}{2} \)
\( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha – 1 \quad \) であるから \( \quad \cos^2 \alpha = \dfrac {1 + \cos 2\alpha}{2} \quad \) よって \( \quad \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac {1 + \cos \alpha}{2} \)

\( \begin{eqnarray*}
\tan^2 \dfrac {\alpha}{2} &=& \dfrac {\sin^2 \dfrac {\alpha}{2}}{\cos^2 \dfrac {\alpha}{2}} \\[5pt]
&=& \dfrac {1 – \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}
\end{eqnarray*} \)

3倍角の公式

\( \begin{eqnarray*}
\sin 3\alpha &=& \sin ( 2\alpha + \alpha) \\
&=& \sin 2\alpha \cdot \cos \alpha + \cos 2\alpha \cdot \sin \alpha \\
&=& 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha + (\cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha ) \sin \alpha \\
&=& 2 \sin \alpha (1 – \sin^2 \alpha) + (1 – 2 \sin^2 \alpha) \sin \alpha \\
&=& 3 \sin \alpha – 4 \sin^3 \alpha
\end{eqnarray*} \)

\( \begin{eqnarray*}
\cos 3\alpha &=& \cos ( 2\alpha + \alpha) \\
&=& \cos 2\alpha \cdot \cos \alpha – \sin 2\alpha \cdot \sin \alpha \\
&=& (\cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha ) \cos \alpha – (2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha) \sin \alpha \\
&=& \{\cos^2 \alpha – (1 – \cos^2 \alpha) \} \cos \alpha – 2 \sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha \\
&=& (2 \cos^2 \alpha – 1) \cos \alpha -2 (1 – \cos^2 \alpha) \cos \alpha \\
&=& 4 \cos^3 \alpha – 3 \cos \alpha
\end{eqnarray*} \)