異なる２点を通る直線の方程式

異なる２点 \( (x_1, y_1)、(x_2, y_2) \) を通る直線の方程式は
\(
(x_2 – x_1)(y – y_1) = (y_2 – y_1)(x – x_1)
\)
と表すことができる。

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\( x_1 \neq x_2 \) のとき
異なる２点 \( (x_1, y_1)、(x_2, y_2) \) を通る直線の傾きは \( \displaystyle \frac{(y_2 – y_1)}{(x_2 – x_1)} \) であり、直線は \( (x_1, y_1) \) を通過するので、
\( \begin{eqnarray}
(y – y_1) &=& \displaystyle \frac{(y_2 – y_1)}{(x_2 – x_1)} (x – x_1) \\
\therefore (x_2 – x_1)(y – y_1) &=& (y_2 – y_1)(x – x_1) \\
\end{eqnarray} \)

\( x_1 = x_2 \) のとき
２点は異なるので \( x_1 = x_2 \) ならば \( y_1 \neq y_2 \) であり、\( x_2 = x_1 \) を代入すると、
\( \begin{eqnarray}
(x_1 – x_1)(y – y_1) &=& (y_2 – y_1)(x – x_1) \\
0 &=& (y_2 – y_1)(x – x_1) \\
(y_2 – y_1) x &=& (y_2 – y_1) x_1 \\
x &=& x_1
\end{eqnarray} \)
つまり、直線は y 軸に平行で \( x_1 (= x_2) \) を通過する。