導関数
微分法とその応用- 導関数
- 関数 \( x^n \) の導関数
- \( \{k \cdot f(x)\}’ = k \cdot f'(x), \quad \{f(x) + g(x)\}’ = f'(x) + g'(x) \)
- \( \{ k \cdot f(x) + l \cdot g(x) \}’ = k \cdot f'(x) + l \cdot g'(X) \)
- \(\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \alpha \quad \) ( \( \alpha \) は有限確定値) \( \quad \) で、分母または分子の極限値がゼロのとき
- \( \{ f(x) g(x) \}’ = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \)
- \( \{f(x)\}^n = n \{f(x)\}^{n-1} \cdot f'(x) \)
導関数
関数 \( f(x) \) の導関数：\(\displaystyle f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x + h)\ -\ f(x)}{h} \)
関数 \( x^n \) の導関数
関数 \( x^n \) の導関数：\( (x^n)’ = nx^{n-1} \qquad \) (\( n \) は正の整数)
\( y = n^x \) の導関数を \( (x^n)’ \) とする。二項定理により、
ゆえに
\Delta y &=& (x + h)^n\ -\ x^n \\
&=& {}_n C_1 x^{n-1} h + ({}_n C_2 x^{n-2} + \cdots + {}_n C_n h^{n-2} ) h^2
\end{eqnarray} \)
よって
(x^n)’ &=& \lim_{h\to 0} \dfrac{(x + h)^n\ -\ x^n}{h} \\
&=& \lim_{h\to 0} \{ {}_n C_1 x^{n-1} + (\cdots) h \} \\
&=& {}_n C_1 x^{n-1} \\
&=& nx^{n-1}
\end{eqnarray} \)
特に、 定数関数 \( \mathbf{y = c} \) の導関数は、 \( \Delta y = c\ -\ c = 0 \) であるから \( \mathbf{y’ = 0} \)
\( \{k \cdot f(x)\}’ = k \cdot f'(x), \quad \{f(x) + g(x)\}’ = f'(x) + g'(x) \)
\( y = k \cdot f(x) \) ( \(k\) は定数) のとき
よって、
また、\( y = f(x) + g(x) \) のとき
\Delta y &=& \{ f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x) \}\ -\ \{ f(x) + g(x) \} \\
&=& \{ f(\Delta x + x)\ -\ f(x) \} + \{ g(\Delta x + x)\ -\ g(x) \}
\end{eqnarray}\)
よって、
y’ &=& \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left\{ \dfrac{f(x + \Delta x)\ -\ f(x)}{\Delta x} \right\} \\
&=& f'(x) + g'(x)
\end{eqnarray}\)
\( \{ k \cdot f(x) + l \cdot g(x) \}’ = k \cdot f'(x) + l \cdot g'(X) \)
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\{ k \cdot f(x) + l \cdot g(x) \}’ &=& \{ k \cdot f(x) \}’ + \{ l \cdot g(x) \}’ \\
&=& k\ \cdot f'(x) + l \cdot g'(x)
\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \alpha \quad \) ( \( \alpha \) は有限確定値) \( \quad \) で、分母または分子の極限値がゼロのとき
\(\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \alpha \quad \) ( \( \alpha \) は有限確定値) \( \quad \) で
- \( \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = 0 \) ならば \( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) である
\( \displaystyle \quad \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} \left\{ \dfrac {f(x)}{g(x)} \cdot g(x) \right\} = \alpha \cdot 0 = 0 \) - \( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) ならば \( \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = 0 \) である
\( \displaystyle \quad \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} \left\{ \dfrac {g(x)}{f(x)} \cdot f(x) \right\} = \dfrac {1}{\alpha} \cdot 0 = 0 \quad (\because) \alpha \neq 0 \)
\( \{ f(x) g(x) \}’ = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \)
\( \begin{eqnarray}
\{ f(x) g(x) \}’&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) g(x + h)\ -\ f(x) g(x)}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) g(x + h)\ -\ f(x) g(x + h)\ + f(x) g(x + h)\ -\ f(x) g(x)}{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{ \{f(x + h)\ -\ f(x)\} \cdot g(x + h)\ + f(x) \cdot \{g(x + h)\ -\ g(x)\} }{h} \\
&=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \left\{ \dfrac{ f(x + h)\ -\ f(x) }{ h } \cdot g(x + h) + f(x) \cdot \dfrac{ g(x + h)\ -\ g(x) }{h} \right\}\\
&=& f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \\
\end{eqnarray} \)
\( \{f(x)\}^n = n \{f(x)\}^{n-1} \cdot f'(x) \)
関数 \(\ \{f(x)\}^n\ \) の導関数： \(\ \dfrac{d}{dx} \{f(x)\}^n = n \{f(x)\}^{n-1} \cdot f'(x) \qquad \) 特に \(\ \{(ax + b)^n\}’ = na(ax + b)^{n-1} \)
\( n = 1 \) のとき
左辺 \( = \dfrac{d}{dx} \{f(x)\}^1 = f'(x) \)
右辺 \( = 1 \cdot \{f(x)\}^{1-1} \cdot f'(x) = 1 \cdot \{f(x)\}^0 \cdot f'(x) = 1 \cdot 1 \cdot f'(x) = f'(x) \)
よって、左辺 = 右辺 が成り立つ。
\( n = k \) で
\(\ \qquad \dfrac{d}{dx} \{f(x)\}^k = k \{f(x)\}^{k-1} \cdot f'(x) \)
が成り立つと仮定すると
\( \begin{eqnarray}
\qquad \dfrac{d}{dx} \{f(x)\}^{k + 1} &=& \dfrac{d}{dx} [\{f(x)\}^k \cdot f(x)] \\
&=& \dfrac{d}{dx} \{f(x)\}^k \cdot f(x) + \{ f(x)^k \} \cdot f'(x) \\
&=& k \{f(x)\}^{k-1} \cdot f'(x) \cdot f(x) + \{ f(x)^k \} \cdot f'(x) \\
&=& (k + 1)\{ f(x) \}^k \cdot f'(x) \\
\end{eqnarray} \)
となり \( n = K + 1 \) のときも成り立つ。
ゆえに、すべての自然数 \( n \) について成立する。
\( \begin{eqnarray}
\{(ax + b)^n\}’ &=& n(ax + b)^{n-1} \cdot (ax + b)’ \\
&=& na(ax + b)^{n-1}
\end{eqnarray} \)