隣接3項間の漸化式
数列\( a_1 = a,\ \ a_2 = b,\ \ p a_{n + 2} + q a_{n + 1} + r a_n = 0 \quad (pqr \neq 0) \quad \) で定められる数列 \( \{ a_n \} \) の一般項の求め方
２次方程式 \( p x^2 + q x + r = 0 \) の２つの解を \( \alpha,\ \beta \) とすると
\( \qquad a_{n + 2}\ -\ \alpha a_{n + 1} = \beta (a_{n+1}\ -\ \alpha a_n) \)
\( \qquad a_{n + 2}\ -\ \beta a_{n + 1} = \alpha (a_{n+1}\ -\ \beta a_n) \)
が成り立つ。
\( \qquad p a_{n + 2} + q a_{n + 1} + r a_n = 0 \quad (pqr \neq 0) \quad \cdots ① \ \quad \)
の \( a_{n + 2},\ a_{n + 1},\ a_{n} \) の代わりに、それぞれ \( x^2,\ x,\ 1 \) とおいた２次方程式
\( \qquad p x^2 + q x + r = 0 \qquad \) (これを \( ① \) の特性方程式という)
の解を \( \alpha,\ \beta \) とする。解と係数の関係から、
\(\displaystyle \qquad \alpha + \beta = – \dfrac{q}{p}, \qquad \alpha \beta = \dfrac{r}{p} \)
これを \( ① \) に代入して
\(\displaystyle \qquad a_{n + 2}\ -\ (\alpha + \beta) a_{n + 1} + \alpha \beta a_n = 0 \)
よって
\( \qquad a_{n + 2}\ -\ \alpha a_{n + 1} = \beta (a_{n+1}\ -\ \alpha a_n) \quad \cdots ② \)
\( \alpha,\ \beta \) のうち１つが \( 1 \) のとき
\( \alpha = 1 \) とすると、\( ② \) から
\( \qquad a_{n + 2}\ -\ a_{n + 1} = \beta (a_{n + 1}\ -\ a_{n}) \)
ゆえに、階差数列が利用できる。
\( \beta = 1 \) とすると、\( ② \) から
\( \qquad a_{n + 2}\ -\ \alpha a_{n + 1} = a_{n + 1}\ -\ \alpha a_{n} = a_{n}\ -\ \alpha a_{n – 1} = \cdots = a_2\ -\ \alpha a_1 \qquad \qquad \) (一定)
ゆえに、\( a_{n + 1} = p a_n + q \) 型の漸化式となる。
\( \alpha \neq 1,\ \beta \neq 1 \) のとき
\( ② \) から
\( \qquad a_{n + 2}\ -\ \alpha a_{n + 1} = \beta (a_{n+1}\ -\ \alpha a_n) \quad \cdots ③ \)
\( \alpha,\ \beta \) を入れ替えて
\( \qquad a_{n + 2}\ -\ \beta a_{n + 1} = \alpha (a_{n+1}\ -\ \beta a_n) \quad \cdots ④ \)
\( ③,\ ④ \) より、数列 \( \{ a_{n + 1}\ -\ \alpha a_n \},\ \{ a_{n + 1}\ -\ \beta a_n \} \) はぞれぞれ公比 \( \beta, \alpha \) の等比数列であるから
\( \qquad a_{n + 1}\ -\ \alpha a_{n} = \beta^{n-1} (b\ -\ \alpha a) \quad \cdots ⑤ \)
\( \qquad a_{n + 1}\ -\ \beta a_{n} = \alpha^{n-1} (b\ -\ \beta a) \quad \cdots ⑥ \)
- \( \alpha \neq \beta \) のとき
\( ⑥\ -\ ⑤ \) から
\( \qquad (\alpha\ -\ \beta)a_n = \alpha^{n – 1}(b\ -\ \beta a)\ -\ \beta^{n – 1}(b\ -\ \alpha a) \)
よって
\(\displaystyle \qquad a_n = \dfrac{b\ -\ \beta a}{\alpha\ -\ \beta} \alpha^{n – 1}\ -\ \dfrac{b\ -\ \alpha a}{\alpha\ -\ \beta} \beta^{n – 1} \) - \( \alpha = \beta \) のとき
\( ⑤ \) から
\( \qquad a_{n + 1}\ -\ \alpha a_{n} = \alpha^{n-1} (b\ -\ \alpha a) \)
両辺を \( \alpha^{n + 1} \) で割って
\(\displaystyle \qquad \dfrac{a_{n + 1}}{\alpha^{n + 1}}\ -\ \dfrac{a_n}{\alpha^n} = \dfrac{b\ -\ \alpha a}{\alpha^2} \)
よって、数列 \(\displaystyle \left\{ \dfrac{a_n}{\alpha^n} \right\} \) は初項 \(\displaystyle \dfrac{a}{\alpha} \)、公差 \( \dfrac{b\ -\ \alpha a}{\alpha^2} \) の等差数列となる。