ベクトルの分解 (一次独立)
平面上のベクトル\( \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0} \)、\(\quad \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0} \)、\(\quad \overrightarrow{a} /\!/\!\!\!\!\backslash\ \overrightarrow{0} \quad \)（すなわち、\(\quad \overrightarrow{a} \quad \) と \(\quad \overrightarrow{b} \quad \) は 一次独立） のとき、任意のベクトル \(\quad \overrightarrow{p} \quad\) は \( \quad \overrightarrow{p}\ =\ s\ \overrightarrow{a} + t\ \overrightarrow{b} \quad\) の形にただ一通りに表される。
\( \overrightarrow{a} = (a_1,\ a_2),\ \ \overrightarrow{b} = (b_1,\ b_2),\ \ \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\ \ \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0} \quad\) とするとき
\(\qquad \overrightarrow{a} // \overrightarrow{b}\ \Longleftrightarrow\ a_1 b_2\ -\ a_2 b_1\ =\ 0 \)
よって
\(\qquad \overrightarrow{a} /\!/\!\!\!\!\backslash\ \overrightarrow{b}\ \Longleftrightarrow\ a_1 b_2\ -\ a_2 b_1\ \neq\ 0 \qquad\cdots①\)
ここで、\(\quad \overrightarrow{p}\ =\ (p_1,\ p_2) \quad\) に対し \(\quad \overrightarrow{p}\ =\ s\ \overrightarrow{a}\ +\ t\ \overrightarrow{b} \quad\) ( \(s,\ t\) は実数）とすると、
\(\qquad s\ \overrightarrow{a}\ +\ t\ \overrightarrow{b}\ =\ s(a_1,\ a_2)\ +\ t(b_1,\ b_2)\ =\ (s a_1\ + t b_1,\ s a_2\ + t b_2) \quad\)
であるから
\(\qquad p_1\ =\ s a_1\ +\ t b_1 \qquad\cdots ②\)
\(\qquad p_2\ =\ s a_2\ +\ t b_2 \qquad\cdots ③\)
\( ② \times b_2\ -\ ③ \times b_1,\quad ② \times a_2\ -\ ③ \times a_1 \quad \) から
\(\qquad (a_1 b_2\ -\ a_2 b_1)s\ =\ b_2 p_1\ -\ b_1 p_2 \)
\(\qquad (a_2 b_1\ -\ a_1 b_2)t\ =\ a_2 p_1\ -\ a_1 p_2 \)
① より \(\quad a_1 b_2\ -\ a_2 b_1\ \neq\ 0 \quad\) であるから
\(\displaystyle \qquad s = \dfrac{b_2 p_1\ -\ b_1 p_2}{a_1 b_2\ -\ a_2 b_1} \)
\(\displaystyle \qquad t = \dfrac{a_2 p_1\ -\ a_1 p_2}{a_2 b_1\ -\ a_1 b_2} \)
よって、\(\ s,\ t\ \) はただ一通りに定まる。