内積による直線のベクトル方程式
平面上のベクトル定点 \( A(\overrightarrow{a}) \) を通り、\( \overrightarrow{0} \) でないベクトル \( \overrightarrow{n} \) に垂直な直線
\( \qquad n \cdot ( \overrightarrow{p}\ -\ \overrightarrow{a} ) = 0 \qquad \overrightarrow{n} \) は直線の法線ベクトル
下図において
\( \qquad (\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{n} \quad \) または \( \quad \overrightarrow{n} = \overrightarrow{0} ) \qquad \Leftrightarrow \qquad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AP} = 0 \)
であるから、
\( \qquad \overrightarrow{n} \cdot ( \overrightarrow{p}\ -\ \overrightarrow{a} ) = 0 \cdots \) ①
このとき、\( \overrightarrow{n} \) を 直線① の 法線ベクトル という。
更に、\( A(x_1, y_1) \)、\( P(x, y) \)、\( \overrightarrow{n} = (a, b) \) とすると、
\(\qquad \overrightarrow{p}\ -\ \overrightarrow{a} = (x\ -\ x_1,\ y\ -\ y_1) \)
であるから、① は
\(\qquad a( x\ -\ x_1) + b( y\ -\ y_1)\ =\ 0 \)
\( c = -a x_1\ -\ b y_1 \) とすると
\(\qquad ax + by + c = 0 \)
よって、直線 \( ax + by + c = 0 \) はベクトル \( \overrightarrow{n} = (a,\ b) \) を法線ベクトルに持つ。