楕円

楕円 \(\displaystyle \quad \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a \gt b \gt 0) \quad \) 【標準形】

1. 中心は原点、長軸の長さ \( 2a \)、短軸の長さ \( 2b\)
2. 焦点は \( F\ (c,\ 0) \)、 \( F’\ (-c,\ 0) \qquad (c = \sqrt{a^2\ -\ b^2}) \)
3. 楕円は \( x \) 軸、 \( y \) 軸、原点に対して対称。
4. 楕円上の任意の点から2つの焦点までの距離の和は \( 2a \) (一定)

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2定点 \( F,\ F’ \) からの距離の和が一定 \( (2a) \) である点 \( P \) の軌跡を 楕円 といい、点 \( F,\ F’ \) をその楕円の 焦点 という。
\( P(x,\ y),\quad F(c,\ 0),\quad F'(-c,\ 0)\quad [c \gt 0]\quad \) とすると、\( PF + PF’ = 2a \cdots ①\quad \) から
\(\qquad \sqrt{(x\ -\ c)^2 + y^2}\ +\ \sqrt{(x\ +\ c)^2 + y^2}\ =\ 2a\qquad \) よって \(\qquad \sqrt{(x\ -\ c)^2 + y^2}\ =\ 2a\ -\ \sqrt{(x\ +\ c)^2 + y^2} \)
両辺を平方して整理すると
\(\qquad a \sqrt{(x + c)^2 + y^2}\ =\ a^2 + cx \)
更に両辺を平方して整理すると
\(\qquad (a^2\ -\ c^2)x^2\ +\ a^2y^2\ =\ a^2(a^2\ -\ c^2) \)
\( PF + PF’ \gt FF’\quad \) より \(\quad 2a \gt 2c\quad \) すなわち \(\quad a \gt c\quad \) であるから、\( \sqrt{a^2\ -\ c^2} = b\quad (b \gt 0)\quad \) とおき、両辺を \( a^2b^2 \) で割ると
\(\displaystyle \qquad \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \cdots ② \)
が導かれる。 (このとき、\( c = \sqrt{a^2\ -\ b^2} \))

焦点が \( y \) 軸上にある楕円 \(\displaystyle \quad \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad (b \gt a \gt 0) \quad \)

1. 中心は原点、長軸の長さ \( 2b \)、短軸の長さ \( 2a\)
2. 焦点は \( F\ (0,\ c) \)、 \( F’\ (0,\ -c) \qquad (c = \sqrt{b^2\ -\ a^2}) \)
3. 楕円は \( x \) 軸、 \( y \) 軸、原点に対して対称。
4. 楕円上の任意の点から2つの焦点までの距離の和は \( 2b \) (一定)

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\( b \gt c \gt 0 \quad \) のとき、2定点 \( \quad F(0,\ c),\quad F'(0,\ -c)\quad \) を焦点として、この2点からの距離の和が一定 \( (2b) \) である楕円の方程式は、上と同様に考えて \(\quad \sqrt{b^2\ -\ c^2} = a \quad \) とおくと \( \quad b \gt a \gt 0 \quad \) で、
\(\displaystyle \qquad \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \cdots ③ \)
となる。 (このとき、\( c = \sqrt{b^2\ -\ a^2} \))