いろいろな関数の導関数

三角関数の導関数 \(\displaystyle \qquad (\sin{x})’ = \cos{x}, \quad (\cos{x})’ = – \sin{x}, \quad (\tan{x})’ = \frac{1}{\cos^2{x}} \)

\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\quad (\sin{x})’ &=& \lim_{h \to 0} \frac{ \sin{(x+h)}\ -\ \sin{x} }{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \dfrac{2 \cos{\left( x + \dfrac{h}{2} \right)} \sin{ \dfrac{h}{2} }}{h} \qquad\qquad \because \sin{A}\ -\ \sin{B} = 2 \cos{ \frac{A + B}{2} } \sin{ \frac{A\ -\ B}{2} } \\
&=& \lim_{h \to 0} \cos{\left( x + \dfrac{h}{2} \right)} \cdot \dfrac{ \sin{ \dfrac{h}{2} } }{ \dfrac{h}{2} } \\
&=& \cos{x} \cdot 1 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \because \lim_{x \to 0} \dfrac{ \sin{x} }{x} =1 \\
&=& \cos{x} \\
\end{eqnarray}\)

\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\quad (\cos{x})’ &=& \left\{ \sin{ \left( x + \dfrac{\pi}{2} \right) } \right\}’ \\
&=& \cos{ \left( x + \dfrac{\pi}{2} \right) } \\
&=& – \sin{x}
\end{eqnarray}\)

\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\quad (\tan{x})’ &=& \left( \dfrac{ \sin{x} }{ \cos{x} } \right)’ \\
&=& \dfrac{ (\sin{x})’ \cos{x}\ -\ \sin{x} (\cos{x})’}{ \cos^2{x} } \\
&=& \dfrac{ \cos^2{x}\ +\ \sin^2{x} }{ \cos^2{x} } \\
&=& \dfrac{ 1 }{ \cos^2{x} } \\
\end{eqnarray}\)

対数関数の導関数

自然対数の底 \( e \) の定義 \(\displaystyle \qquad e = \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} \)

\(\displaystyle h \to 0 \) のとき \(\displaystyle (1 + h)^{\frac{1}{h}} \) の極限値 \( (2.71828\cdots) \) を \( e \) で表し、\( \log_e{x} \) を 自然対数 という。
一般に \( \log_e{x} \) は底 \( e \) を省略して \( \log{x} \) と書く。

対数関数の導関数

\( a \gt 0, a \neq 1 \) とする。

\(\displaystyle (\log_{a}{x})’ = \frac{1}{x \log{a}} \)

\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\quad (\log_{a}{x})’ &=& \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \log_{a}{(x + \Delta x)}\ -\ \log_{a}{x} }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{\Delta x \to 0} { \dfrac{1}{\Delta x} \log_{a}{ \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right) } } \\
&=& \lim_{\Delta x \to 0} { \dfrac{1}{x} \dfrac{x}{\Delta x} \log_{a}{ \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right) } }
\end{eqnarray}\)

\(\displaystyle h = \frac{\Delta x}{x} \) とおくと

\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\quad (\log_{a}{x})’ &=& \dfrac{1}{x} \lim_{h \to 0} { \log_{a}{ ( 1 + h)^{\frac{1}{h}} } } \\
&=& \dfrac{1}{x} \log_{a}{e} \\
&=& \dfrac{1}{x \log{a}}
\end{eqnarray}\)

\(\displaystyle (\log {x})’ = \frac{1}{x} \)

\(\displaystyle \quad (\log_{a}{x})’ = \dfrac{1}{x \log{a}} \)
で、特に \( a = e \) のとき
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\quad (\log {x})’ &=& \dfrac{1}{x \log{e}} \\
&=& \dfrac{1}{x}
\end{eqnarray}\)

\(\displaystyle (\log {|x|})’ = \frac{1}{x}, \quad (\log_{a} {|x|})’ = \frac{1}{x \log {a}} \)

\(\quad x \gt 0 \) のとき \(\displaystyle \qquad (\log {|x|})’ = (\log x)’ = \frac{1}{x} \)
\(\quad x \lt 0 \) のとき \(\displaystyle \qquad (\log {|x|})’ = \{\log (- x)\}’ = \frac{1}{- x} \cdot (-1) = \frac{1}{x} \)
ゆえに
\(\displaystyle \quad (\log {|x|})’ = \frac{1}{x} \)

また
\(\displaystyle \quad (\log_{a} {|x|})’ = \left( \frac{\log |x|}{\log a} \right)’ = \frac{1}{\log a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log {a}} \)

\( x^\alpha \) の導関数 \( \qquad\qquad \alpha \) が実数のとき \( \quad (x^\alpha)’ = \alpha x^{\alpha – 1} \)

\( y = x^\alpha \) の両辺の自然対数をとると
\(\quad \log y = \alpha \log x \)
両辺を \( x \) で微分して
\(\displaystyle \quad \frac{y’}{y} = \alpha \cdot \frac{1}{x} \qquad\qquad\qquad \because (左辺) = \frac{d(\log{y})}{dx} = \frac{d(\log{y})}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y} \cdot y’ \)
よって
\(\displaystyle \quad y’ = \alpha \cdot \frac{1}{x} \cdot x^\alpha = \alpha x^{\alpha – 1} \)

指数関数の導関数\( \qquad\qquad (e^x)’ = e^x, \quad (a^x)’ = a^x \log {a} \quad (a \gt 1,\ a \neq 1 とする。) \)

\( y = a^x \) の両辺の自然対数をとると
\( \quad \log{y} = x \log{a} \)

両辺を \( x \) で微分して
\(\displaystyle \quad \frac{y’}{y} = \log a \qquad\qquad\qquad \because (左辺) = \frac{d(\log{y})}{dx} = \frac{d(\log{y})}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y} \cdot y’ \)

したがって
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\quad y’ &=& y \log{a} \\
\quad \therefore (a^x)’ &=& a^x \log{a}
\end{eqnarray}\)

特に、\( a = e \) のとき \( (e^x)’ = e^x \log{e} = e^x \)