導関数の計算

関数 \(\ f(x),\ g(x)\ \) は微分可能であるとする。

導関数の性質

\(\ k,\ l\ \) を定数とする。

定数倍 \(\qquad \{kf(x)\}’ = k f'(x) \)

\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\{kf(x)\}’ &=& \lim_{h \to 0} \frac{k f(x + h)\ -\ k f(x)}{h} \\
&=& k \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)\ -\ f(x)}{h} \\
&=& kf'(x)
\end{eqnarray}\)

和 \(\qquad \{f(x) + g(x)\}’ = f'(x) + g'(x) \)

\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\{ f(x) + g(x) \}’ &=& \lim_{h \to 0} \frac{ \{ f(x + h) + g(x + h) \}\ -\ \{ f(x) + g(x) \} }{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \left\{ \frac{f(x + h)\ -\ f(x)}{h} + \frac{g(x + h)\ -\ g(x)}{h} \right\} \\
&=& f'(x) + g'(x)
\end{eqnarray}\)

導関数の定数倍の公式、和の公式から
\(\qquad \{ k f(x) + l g(x)\}’ = k f'(x) + l g'(x) \)
また、特に \( k = 1,\ l = -1 \) のとき、
\(\qquad \{ f(x)\ -\ g(x)\}’ = f'(x)\ -\ g'(x) \)
が成り立つ

積の導関数 \(\qquad \{ f(x) g(x) \}’ = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \)

\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\quad \{ f(x) g(x) \}’ &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) g(x + h)\ -\ f(x)g(x)}{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) g(x + h)\ -\ f(x)g(x + h) + f(x)g(x + h)\ -\ f(x)g(x)}{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \left\{ \frac{f(x + h)\ -\ f(x)}{h} \cdot g(x + h) + f(x) \cdot \frac{g(x + h)\ -\ g(x)}{h} \right\}\\
\end{eqnarray}\)
ここで、\( g(x) \) は微分可能であるから連続で、\( \lim_{h \to 0} g(x + h) = g(x) \) であるから
\(\quad \{ f(x) g(x) \}’ = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \)

商の導関数 \(\displaystyle \qquad \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}’ = \frac{f'(x) g(x)\ -\ f(x) g'(x)}{ \{g(x)\}^2 } \quad \) 特に \(\displaystyle \quad \left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}’ =\ – \frac{g'(x)}{ \{g(x)\}^2 } \)

まず、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\quad \left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}’ &=&\ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{1}{g(x + h)}\ -\ \frac{1}{g(x)} \right\} \\
&=& \lim_{h \to 0} \frac{g(x)\ -\ g(x + h)}{h g(x + h) g(x)} \\
&=& \lim_{h \to 0} \left\{ – \frac{g(x + h)\ -\ g(x)}{h} \cdot \frac{1}{g(x + h) g(x)} \right\} \\
&=& – g'(x) \cdot \frac{1}{g(x) g(x)} \\
&=& – \frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\displaystyle \quad \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}’ &=& \left\{ f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right\}’ \\
&=& f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}’ \\
&=& \frac {f'(x)}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{- g(x)}{\{g(x)\}^2} \\
&=& \frac {f'(x) g(x)\ -\ f(x) g(x)’}{ \{g(x)\}^2 }
\end{eqnarray}\)

合成関数の微分法 \(\displaystyle \qquad \frac{dx}{dy} = \frac{dx}{du} \cdot \frac{du}{dy} \quad \) すなわち \(\displaystyle \quad \{ f( g(x) )\}’ = f'( g(x) ) g'(x) \)

\( y = f(u) \) が \( u \) の関数として微分可能、\( u = g(x) \) が \( x \) の関数として微分可能であるとき、合成関数 \( y = f( g(x) ) \) も \( x \) の関数として微分可能で
\(\displaystyle \quad \frac{dx}{dy} = \frac{dx}{du} \cdot \frac{du}{dy} \quad \) すなわち \(\displaystyle \quad \{ f( g(x) )\}’ = f'( g(x) ) g'(x) \)

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\( x \) の増分 \( \Delta x \) に対する \( u = g(x) \) の増分を \( \Delta u \)、\( u \) の増分 \( \Delta u \) に対する \( y = f(u) \) の増分を \( \Delta y \) とすると、\( u = g(x) \) は連続であるから、\( \Delta x \to 0 \) のとき \( \Delta u \to 0 \) となる。よって
\(\begin{eqnarray} \displaystyle
\quad \frac{dy}{dx} &=& \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\
&=& \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right) \\
&=& \left( \lim_{\Delta u \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \right) \cdot \left( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} \right) \\
&=& \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
\end{eqnarray}\)
一般に \(\displaystyle \quad \{ f( g(x) ) \}’ = f'( g(x) ) g'(x),\quad \frac{d}{dx}f(y) = f'(y) \cdot \frac{dy}{dx} \)

逆関数の微分法 \(\displaystyle \qquad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{ \frac{dx}{dy} } \)

微分可能な関数 \( y = f(x) \) の逆関数 \( y = f^{-1} (x) \) が存在するとき
\(\displaystyle \quad \frac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ \dfrac{dx}{dy} } \)

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\( y = f^{-1} (x) \quad \) から \( \quad x = f(y) \qquad \) 両辺を \( x \) で微分すると
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\quad（左辺）&=& \frac{d}{dx} x \\
&=& 1, \\
（右辺）&=& \frac{d}{dx} f(y) \\
&=& \frac{d}{dy} f(y) \cdot \frac{dy}{dx} \\
&=& \frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}
\end{eqnarray}\)
ゆえに \(\displaystyle \qquad 1 = \frac{dx}{dy} \cdot \frac {dy}{dx} \qquad \) よって、\( \qquad \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ \dfrac{dx}{dy} }\)

\( x^p \) の導関数 \( \qquad p \) が有理数のとき \( \quad (x^p)’ = p x^{p – 1} \)

\( (x^n)’ = n x^{n-1} \cdots ① \) とする。

\( n \) が \( 0 \) のときは明らかに \( ① \) は成り立つ。\( \qquad \because (1)’ = 0 \)

\( n \) が自然数のとき \( ① \) が成り立つことを示す。
二項定理により
\( \quad (x + h)^n\ =\ x^n\ +\ _{n}C_{1} x^{n-1} h^{}\ +\ _{n}C_{2} x^{n-2} h^{2}\ +\cdots+\ _{n}C_{n} h^{n} \)
ゆえに
\( \quad (x + h)^n\ -\ x^n\ =\ _{n}C_{1} x^{n-1} h^{}\ +\ (_{n}C_{2} x^{n-2}\ +\cdots+\ _{n}C_{n} h^{n-2}) h^2 \)
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\quad \therefore (x^n)’ &=& \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^n\ -\ x^n}{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \{ _{n}C_{1} x^{n-1}\ +\ (_{n}C_{2} x^{n-2}\ +\cdots+\ _{n}C_{n} h^{n-2}) h \} \\
&=& _{n}C_{1} x^{n-1} \\
&=& nx^{n-1}
\end{eqnarray}\)

ゆえに、\( ① \) はすべての整数について成り立つ。

最後に、\( p \) が有理数のとき \( (x^p)’ = p x^{p-1} \) が成り立つことを示す。
\(\displaystyle \quad p = \frac {m}{n} \) (\( n \) は自然数、\( m \) は整数) と表され \(\displaystyle \quad x^p = x^{\frac{m}{n}} = (x^{\frac{1}{n}})^m \)
\(\displaystyle \quad y = x^{\frac{1}{n}} \quad \) とおくと \( \quad x = y^n \quad \) ゆえに \(\displaystyle \quad \frac{dx}{dy} = ny^{n-1}\)
\(\begin{eqnarray}
\displaystyle \quad \therefore (x^p)’ &=& \frac{d}{dx}y^m \\
&=& \frac{d}{dy}y^m \cdot \frac{dy}{dx} \\
&=& my^{m-1} \cdot \frac{dy}{dx} \\
&=& my^{m-1} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}} \\
&=& my^{m-1} \cdot \frac{1}{ny^{n-1}} \\
&=& \frac{m}{n} y^{m-n} \\
&=& \frac{m}{n} (x^{\frac{1}{n}})^{m-n} \\
&=& \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1} \\
&=& px^{p-1}
\end{eqnarray}\)