不定積分の置換積分法・部分積分法
\( f(ax + b) \) の不定積分
\( F^\prime (x) = f(x),\ a \neq 0 \) とするとき、\(\displaystyle \int{ f(ax + b)\ dx } = \dfrac{1}{a} F( ax + b ) + C \)
合成関数の微分法 \( \{F(ax + b)\}^\prime = F^\prime (ax + b) (ax + b)^\prime = a F^\prime (ax + b) = a f(ax + b) \) から \(\displaystyle \int{ f(ax + b)\ dx } = \dfrac{1}{a} F( ax + b ) + C \) が得られる。
置換積分関数
- \(\displaystyle \int{ f(x)\ dx } = \int{ f(g(t))\ g^\prime(t)\ dt } \qquad \) ただし \( \qquad x = g(t) \)
- \(\displaystyle \int{ f(g(x))\ g^\prime(x)\ dx = \int{ f(u)\ du } } \qquad \) ただし \( \qquad g(x) = u \)
- \(\displaystyle \int{ \{g(x)\}^\alpha\ g^\prime (x)\ dx } = \dfrac{ \{g(x)\}^{\alpha + 1} }{ \alpha + 1 } + C \qquad \) ただし \( \qquad \alpha \neq -1 \)
- \(\displaystyle \int{ \dfrac{ g^\prime (x) }{ g(x) }\ dx } = \log{ |g(x)| } + C \)
\( f(x) \) の不定積分 \(\displaystyle y = \int{ f(x)\ dx } \) において、\( x \) が微分可能な \( t \) の関数 \( g(t) \) で \( x = g(t) \) と表されるとき、\( y \) は \( t \) の関数で \(\displaystyle \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} = f(x) g^\prime (t) = f( g(t) ) g^\prime (t) \) から 1. が得られる。
また、1. において左辺と右辺を入れ替えて積分変数 \( t \) を \( x \) に、 \( x \) を \( u \) におき換えると 2. が得られる。
2. において \( f(u) = u^\alpha \) とすると \(\displaystyle \int{ \{ g(x) \}^\alpha g^\prime (x)\ dx } = \int{ u^\alpha\ du } = \dfrac{ u^{\alpha + 1} }{ \alpha + 1 } + C,\quad g(x) = u \) から 3. が得られる。
また、2. において \(\displaystyle f(u) = \dfrac{ 1 }{ u } \) とすると \(\displaystyle \int{ \dfrac{ g^\prime (x) }{ g(x) }\ dx } = \int{ \dfrac{ 1 }{ u }\ du } = \log{ |u| } + C, \quad g(x) = u \) から 4. が得られる。
なお、\(\displaystyle \dfrac{dx}{dt} = g^\prime (t) \) を形式的に \( dx = g^\prime (t)\ dt \) と書くことがある。この表現を用いると、
1. は \(\displaystyle \int{ f(x)\ dx } \) において形式的に \( x \) を \( g(t) \) に、\( dx \) を \( g^\prime (t)\ dt \) におき換えたもの
2. は被積分関数が \( f( g(x) ) g^\prime (x) \) の形をしているとき \( g(x) \) を \( u \) でおき換え、形式的に \( g^\prime (x) dx \) を \( du \) におき換えたものと考えることができる。
部分積分法
\(\displaystyle \int{ f(x)\ g^\prime (x)\ dx } = f(x)\ g(x)\ -\ \int{ f^\prime (x)\ g(x)\ dx } \qquad \) 特に \(\displaystyle \qquad \int{ f(x)\ dx } = x\ f(x)\ -\ \int{ x\ f^\prime (x)\ dx } \)
積の導関数の公式 \( \{ f(x)\ g(x) \}^\prime = f^\prime(x)\ g(x)\ +\ f(x)\ g^\prime (x) \) から
\( \qquad f(x)\ g^\prime (x) = \{ f(x)\ g(x) \}^\prime\ -\ f^\prime (x)\ g(x) \)
両辺の不定積分を考えると
\(\displaystyle \qquad \int{ f(x)\ g^\prime (x)\ dx } = f(x)\ g(x)\ -\ \int{ f^\prime (x)\ g(x)\ dx }\qquad \cdots \) ①
① で、特に \( g(x) = x \) とすると、\( g^\prime (x) = 1 \) であるから
\(\displaystyle \qquad \int{ f(x)\ dx } = x\ f(x)\ -\ \int{ x\ f^\prime (x)\ dx } \)