対数とその性質
指数関数と対数関数\( a,\ b,\ c \) は \( 1 \) でない正の数、\( M \gt 0,\ N \gt 0,\ k\ \) は実数で、
\( \log_a M = p,\ \log_a N = q,\ \log_a b = r \) とする。
\( M = a^p,\ N = a^q,\ b = a^r \) である。
\( \log_a MN = \log_a M + \log_a N \)
\( MN = a^{p + q} \) であるから、\( \log_a MN = p + q = \log_a M + \log_a N \)
\( \log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M – \log_a N \)
\( \dfrac{M}{N} = a^{p-q} \) であるから、\( \log_a \dfrac{M}{N} = p\ -\ q = \log_a M – \log_a N \)
\( \log_a M^k = k \log_a M \)
\( M = a^p \) の両辺を \( k \) 乗すると、\( M^k = a^{kp} \) であるから \( \log_a M^k = kp = k \log_a M \)
\( \log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \)
\( a^r = b \) の両辺の \( c \) を底とする対数をとると、\( \log_c a^r = r \log_c a = \log_c b \) である。
\( a \neq 1 \) であるから \( \log_c a \neq 0 \) であり、
\( r = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \) すなわち、\( \log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \)
\( a^{\log_a x} = x \)
\( X = a^{log_a x} \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a X = \log_a x \quad \Longleftrightarrow \quad X = x \)
\( \therefore a^{log_a x} = x \)