二項分布

二項分布 \( B(n, p) \)

一回の施行で事象 \( A \) の起こる確率が \( p \) のとき、この試行を \( n \) 回行う反復試行において \( A \) の起こる回数を \( X \) とすると、\( X = r \) になる確率は
\( \qquad P(X = r) = _nC_r p^r q^{n-r} \qquad (r = 0, 1, \cdots, n; \quad 0 \leqq p \leqq 1, \quad q = 1 – p ) \)
このとき、確率変数 \( X \) は 二項分布 \( B(n, p)\) に従うという。

平均・分散・標準偏差

確率変数 \( X \) が二項分布 \( B(n, p) \) にしたがうとき

平均 \( E(X) = np \)

\( \displaystyle \begin{eqnarray} E(X) &=& \sum_{k=0}^n {kP(X = k)} \\
&=& \sum_{k=1}^n {k _nC_k p^k q^{n-k}} \\
&=& \sum_{k=1}^n {n _{n-1}C_{k-1} p^k q^{n-k}} \qquad \Longleftarrow 二項係数の性質: k _nC_k = k \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!} = k \dfrac{n(n-1)!}{\{(n – 1) – (k – 1)\}! \cdot k(k – 1)!} = n \dfrac{(n-1)!}{\{(n – 1) – (k – 1)\}! \cdot (k – 1)!} = n _{n-1}C_{k-1} \\
&=& np \sum_{k=1}^n {_{n-1}C_{k-1} p^{k-1} q^{n-k}} \\
&=& np \sum_{m=0}^{n-1} {_{n-1}C_m p^m q^{(n-1)-m}} \qquad \Longleftarrow m = k – 1 とする\\
&=& np(p + q)^{n-1} \\
&=& np
\end{eqnarray} \)

分散 \( V(X) = npq \qquad (q = 1 – p)\)

\( \displaystyle \begin{eqnarray} E(X^2) &=& \sum_{k=0}^n {k^2 P(X = k)} \\
&=& \sum_{k=1}^n {k^2 _nC_k p^k q^{n-k}} \\
&=& \sum_{k=1}^n {kn _{n-1}C_{k-1} p^k q^{n-k}} \\
&=& n \sum_{k=1}^n { \{(k – 1) + 1\} _{n-1}C_{k-1} p^k q^{n-k}} \\
&=& n \sum_{k=2}^n { (k – 1) _{n-1}C_{k-1} p^k q^{n-k}} + n \sum_{k=1}^n { _{n-1}C_{k-1} p^k q^{n-k}} \\
&=& np^2 \sum_{k=2}^n { (n – 1) _{n-2}C_{k-2} p^{k-2} q^{n-k}} + np \sum_{k=1}^n { _{n-1}C_{k-1} p^{k-1} q^{n-k}} \\
&=& n (n – 1) p^2 \sum_{j=0}^{n-2} { _{n-2}C_j p^j q^{(n-2)-j}} + np \sum_{m=0}^{n-1} { _{n-1}C_m p^m q^{(n-1)-m}} \qquad \Longleftarrow j = k – 2, m = k – 1 とする\\
&=& n (n – 1) p^2 (p + q)^{n-2} + np (p + q)^{n-1} \\
&=& n (n – 1) p^2 + np
\end{eqnarray} \)

したがって、
\( \displaystyle \begin{eqnarray} V(X) &=& E(X^2) – \{E(X)\}^2 \\
&=& \{ n (n – 1) p^2 + np \}\ -\ (np)^2 \\
&=& \{ n^2p^2 – np^2 + np \}\ -\ n^2p^2 \\
&=& np(1-p) \\
&=& npq
\end{eqnarray} \)

標準偏差 \( \sigma(X) = \sqrt{npq} \qquad (q = 1 – p) \)