積和の公式、和積の公式

積和の公式

\( \begin{eqnarray*}
\cos\alpha \cdot \cos \beta &=& \dfrac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha – \beta)\} \\
\sin\alpha \cdot \sin \beta &=& -\dfrac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) – \cos(\alpha – \beta)\}
\end{eqnarray*} \)

\( \begin{eqnarray*}
\cos(\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cdot \cos \beta – \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdots ① \\
\cos(\alpha − \beta) &=& \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdots ②
\end{eqnarray*} \)

\( (① + ②) \div 2 より \)
\( \cos\alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha – \beta)\} \cdots ⑤\)

\( (① – ②) \div 2 より \)
\( \sin\alpha \cdot \sin \beta = -\dfrac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) – \cos(\alpha – \beta)\} \cdots ⑥ \)

\( \begin{eqnarray*}
\sin\alpha \cdot \cos \beta &=& \dfrac{1}{2} \{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta)\} \\
\cos\alpha \cdot \sin \beta &=& \dfrac{1}{2} \{\sin(\alpha + \beta) – \sin(\alpha – \beta)\}
\end{eqnarray*} \)

\( \begin{eqnarray*}
\sin(\alpha + \beta) &=& \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta \cdots ③ \\
\sin(\alpha − \beta) &=& \sin \alpha \cdot \cos \beta – \cos \alpha \cdot \sin \beta \cdots ④
\end{eqnarray*} \)

\( (③ + ④) \div 2 より \)
\( \sin\alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{1}{2} \{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta)\} \cdots ⑦ \)

\( (③ – ④) \div 2 より \)
\( \cos\alpha \cdot \sin \beta = \dfrac{1}{2} \{\sin(\alpha + \beta) – \sin(\alpha – \beta)\} \cdots ⑧ \)

和積の公式

\( \begin{eqnarray*}
\cos x + \cos y &=& 2 \cos \dfrac{x + y}{2} \cdot \cos \dfrac {x – y}{2} \\
\cos x – \cos y &=& -2 \sin \dfrac{x + y}{2} \cdot \sin \dfrac {x – y}{2} \\
\sin x + \sin y &=& 2 \sin \dfrac{x + y}{2} \cdot \cos \dfrac {x – y}{2} \\
\sin x – \sin y &=& 2 \cos \dfrac{x + y}{2} \cdot \sin \dfrac {x – y}{2} \\
\end{eqnarray*} \)

\( \alpha + \beta = x, \alpha – \beta = y \) とすると
\( \alpha = \dfrac {x + y}{2}, \beta = \dfrac {x – y}{2} \)

これらを ⑤、⑥、⑦、⑧ に代入すると、
\( \begin{eqnarray*}
\cos x + \cos y &=& 2 \cos \dfrac{x + y}{2} \cdot \cos \dfrac {x – y}{2} \\
\cos x – \cos y &=& -2 \sin \dfrac{x + y}{2} \cdot \sin \dfrac {x – y}{2} \\
\sin x + \sin y &=& 2 \sin \dfrac{x + y}{2} \cdot \cos \dfrac {x – y}{2} \\
\sin x – \sin y &=& 2 \cos \dfrac{x + y}{2} \cdot \sin \dfrac {x – y}{2} \\
\end{eqnarray*} \)