２次曲線の接線

\( p\ \neq\ 0,\ a\ \gt 0,\ b\ \gt\ 0\ \) とする。
曲線上の点 \(\ (x_1,\ y_1)\ \) における接線の方程式

放物線

\( y^2 = 4px = 2p \cdot 2x \qquad \to \qquad y_1 y = 2p(x\ +\ x_1) \)

楕円

\(\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}\ +\ \dfrac{y^2}{b^2}\ =\ 1 \qquad \to \qquad \dfrac{x_1 x}{a^2}\ +\ \dfrac{y_1 y}{b^2}\ =\ 1 \)

双曲線

• \(\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}\ -\ \dfrac{y^2}{b^2}\ =\ 1 \qquad \to \qquad \dfrac{x_1 x}{a^2}\ -\ \dfrac{y_1 y}{b^2}\ =\ 1 \)
• \(\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}\ -\ \dfrac{y^2}{b^2}\ =\ -1 \qquad \to \qquad \dfrac{x_1 x}{a^2}\ -\ \dfrac{y_1 y}{b^2}\ =\ -1 \)

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放物線の接線

放物線 \(\ y^2 = 4px \cdots ①\ \) の傾き \( m \) の接線の方程式を \(\ y\ =\ mx\ +\ n \quad (m\ \neq 0) \cdots ②\ \) とし、接点の座標を \( (x_1,\ y_1) \) とする。② を ① に代入して \( x \) について整理すると
\( \qquad m^2 x^2\ +\ 2(mn\ -\ 2p)x\ +\ n^2\ =\ 0 \cdots ③ \)
② が ① に接するための条件は、２次方程式 ③ の判別式を \( D \) とすると
\(\qquad D = 0 \)
ゆえに
\(\displaystyle \qquad \frac{D}{4} = (mn\ -\ 2p)^2\ -\ m^2 \dot n^2 = 0 \qquad \) よって \(\displaystyle \qquad n = \frac{p}{m} \)
このとき ③ の重解は
\(\displaystyle \qquad x_1\ =\ -\dfrac{mn\ -\ 2p}{m^2}\ =\ \dfrac{p}{m^2} \)
ゆえに
\(\displaystyle \qquad y_1\ =\ mx_1\ +\ n\ =\ \dfrac{p}{m}\ +\ \dfrac{p}{m}\ =\ \dfrac{2p}{m} \)
\( y_1\ \neq\ 0 \) のとき \(\displaystyle \ m\ =\ \dfrac{2p}{y_1},\ n\ =\ \dfrac{y_1}{2}\ \) を ② に代入して、\(\displaystyle y\ =\ \dfrac{2p}{y_1}x\ + \dfrac{y_1}{2} \)
したがって、\(\displaystyle y_1 y\ =\ 2p x\ + \dfrac{{y_1}^2}{2} \) であり、\( {y_1}^2\ =\ 4px_1\ \) であるから \(\ y_1y\ =\ 2p(x\ +\ x_1) \)
これは \(\ y\ =\ 0\ \) のときも成り立つ （ \(x_1\ =\ 0 \) であり、接線の方程式は \( x = 0 \) ）

楕円の接線

楕円 \(\displaystyle \ \dfrac{x^2}{a^2}\ +\ \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \cdots ④\ \) の傾き \( m \) の接線の方程式を \(\ y\ =\ mx\ +\ n \cdots ⑤\ \) とし、接点の座標を \( (x_1,\ y_1) \) とする。⑤ を ④ に代入して \( x \) について整理すると
\( \qquad ( b^2\ +\ a^2 m^2 ) x^2\ +\ 2a^2 m n x\ +\ a^2 n^2\ -\ a^2 b^2\ =\ 0 \cdots ⑥ \)
ここで、\(\ b \gt 0\ \) であるから \(\qquad b^2\ +\ a^2 m^2\ \gt\ 0 \)
⑤ が ④ に接するための条件は、２次方程式 ⑥ の判別式を \( D \) とすると
\(\qquad D = 0 \)
よって
\(\displaystyle \qquad \frac{D}{4} = (a^2 m n)^2\ -\ (b^2\ +\ a^2 m^2) \cdot (a^2 n^2\ -\ a^2 b^2)\ =\ 0 \)
ゆえに
\(\displaystyle \qquad a^2 b^4\ +\ a^4 b^2 m^2\ =\ a^2 b^2 n^2 \)
\( a\ \gt\ 0,\ b\ \gt\ 0 \) であるから \(\qquad b^2\ +\ a^2 m^2\ =\ n^2 \cdots ⑦ \)
このとき ⑥ の重解は
\(\displaystyle \qquad x_1\ =\ -\dfrac{a^2 m n}{b^2\ +\ a^2 m^2} \)
であり、⑦ から
\(\displaystyle \qquad x_1\ =\ -\dfrac{a^2 m n}{n^2}\ =\ -\dfrac{a^2 m}{n} \cdots ⑧ \)
\(\displaystyle \qquad y_1\ =\ m x_1\ +\ n\ =\ -\dfrac{a^2 m^2}{n}\ +\ n\ =\ \dfrac{n^2\ -\ a^2m^2}{n} \)
となり、⑦から
\(\displaystyle \qquad y_1\ =\ \dfrac{b^2}{n} \)
\( y_1\ \neq\ 0\ \) のとき \(\displaystyle\ n\ =\ \dfrac{b^2}{y_1}\ \) であり、これを⑧に代入して
\(\displaystyle \qquad x_1\ =\ -\dfrac{a^2 m y_1}{b^2} \qquad \) よって \(\displaystyle \qquad m = -\dfrac{b^2 x1}{a^2 y_1} \)
\(\displaystyle\ n\ =\ \dfrac{b^2}{y_1}\,\quad m = -\dfrac{b^2 x1}{a^2 y_1} \quad \) を ⑤ に代入して
\(\displaystyle \qquad y\ =\ -\dfrac{b^2 x_1}{a^2 y_1}x\ +\ \dfrac{b^2}{y_1} \)
分母を払って整理すると、
\(\displaystyle \qquad b^2 x_1 x\ +\ a^2 y_1 y\ =\ a^2 b^2 \qquad \therefore \quad \dfrac{x_1 x}{a^2}\ +\ \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1 \)
これは \( y_1 = 0 \) のときも成り立つ （\( x = \pm a \) であり、接線の方程式は \( x = \pm a \) ［複号同順］）