母平均の推定

一般に、母平均 \( m \)、標準偏差 \( \sigma \) をもつ母集団から大きさ \( n \) の無作為標本を抽出するとき、その標本平均 \( \overline{X} \) は、 \( n \) が大きいとき、近似的に正規分布 \(\displaystyle N \left( m, \dfrac{\sigma^2}{n} \right) \) に従う。
よって、\(\displaystyle Z = \dfrac{ \overline{X} – m }{ \dfrac{ \sigma }{ \sqrt{n} } } \) は近似的に \( N(0, 1) \) に従うから、任意の正の数 \( c \) に対して
\(\displaystyle \qquad P \left( |\overline{X} – m| \leqq c \cdot \dfrac{ \sigma }{ \sqrt{n} } \right) = P ( |Z| \leqq c) = 2 p(c) \)
となる。ただし、\( p(c) = P(0 \leqq Z \leqq c ) \) である。

ゆえに、
\(\displaystyle \qquad P \left( m – c \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \leqq \overline{X} \leqq m + c \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = 2p(c) \)

したがって、
\(\displaystyle \qquad P \left( \overline{X} – c \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \leqq m \leqq \overline{X} + c \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = 2p(c) \quad \cdots \quad (1) \)
ここで、例えば、\( 2p(c) = 0.95 \) とすると、\( p(c) = 0.475 \) となるから、正規分布表より \( c = 1.96 \) を得る。

よって、
\(\displaystyle \qquad P \left( \overline{X} – 1.96 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \leqq m \leqq \overline{X} + 1.96 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = 0.95 \)

この式は、区間 \(\displaystyle \quad \overline{X} – 1.96 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \leqq x \leqq \overline{X} + 1.96 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \) が母平均 \( m \) の値を含むことが約 95% の確からしさで期待されることを示している。この区間を
\(\displaystyle \quad \left[ \overline{X} – 1.96 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + 1.96 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] \quad \cdots \quad (2) \)
のように表し、母平均 \( m \) に対する 信頼度 \( 95% \) の 信頼区間 という。

また、信頼度 \( 99% \) の信頼区間については、\( (1) \) で、\( 2p(c) = 0.99 \) とすると、\( p(c) = 0.495 \) となり、正規分布表から \( c = 2.58 \) を得る。ゆえに、\( (2) \) の \( 1.96 \) を \( 2.58 \) に改めると得られる。