曲線の長さ

媒介変数

\(
\displaystyle \text{曲線}\quad x = f(t),\quad y = g(t)\quad (\alpha \leqq t \leqq \beta)\quad \text{の長さ}\quad L\quad は\\
\displaystyle \qquad L = \int_\alpha^\beta{ \sqrt{ \left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2 } dt} \quad = \quad \int_\alpha^\beta{ \sqrt{ \left\{ f^\prime(t) \right\}^2 + \left\{ g^\prime(t) \right\}^2 } dt}\\
\)

曲線の方程式が媒介変数 \( t \) を用いて \(\quad x = f(t),\quad y = g(t) \quad (\alpha \leqq t \leqq \beta) \quad\) で表され、\( \quad f(t),\quad g(t) \quad \) はともに微分可能で\( \quad f^\prime(t),\quad g^\prime(t) \quad \) はいずれも連続であるとする。
曲線上の2点 \( A\ (\ f(\alpha),\ g(\alpha)\ ),\quad P\ (\ f(t),\ g(t)\ ) \) の間の弧 \( AP \) の長さを \( t \) の関数と見て \(\ s(t)\ \) で表す。
\( t \) の増分を \( \Delta t \) とすると
\(\begin{align}
\qquad \Delta x &= f(\ t + \Delta t\ )\ -\ f( t ) \\
\Delta y &= g(\ t + \Delta t\ )\ -\ g( t ) \\
\Delta s &= s(\ t + \Delta t\ )\ -\ s( t ) \\
\end{align}\)

直交座標

\(
\displaystyle \text{曲線}\quad y = f(x) \quad (a \leqq x \leqq b)\quad \text{の長さ}\quad L\quad は\\
\displaystyle \qquad L = \int_a^b{ \sqrt{ 1 + \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2 } dx} \quad = \quad \int_a^b{ \sqrt{ 1 + \left\{ f^\prime(x) \right\}^2 } dx}\\
\)