曲線の長さ

媒介変数

\(
\displaystyle \text{曲線}\quad x = f(t),\quad y = g(t)\quad (\alpha \leqq t \leqq \beta)\quad \text{の長さ}\quad L\quad は\\
\displaystyle \qquad L = \int_\alpha^\beta{ \sqrt{ \left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2 } dt} \quad = \quad \int_\alpha^\beta{ \sqrt{ \left\{ f^\prime(t) \right\}^2 + \left\{ g^\prime(t) \right\}^2 } dt}\\
\)

曲線の方程式が媒介変数 \( t \) を用いて \(\quad x = f(t),\quad y = g(t) \quad (\alpha \leqq t \leqq \beta) \quad\) で表され、\( \quad f(t),\quad g(t) \quad \) はともに微分可能で\( \quad f^\prime(t),\quad g^\prime(t) \quad \) はいずれも連続であるとする。
曲線上の2点 \( A\ (\ f(\alpha),\ g(\alpha)\ ),\quad P\ (\ f(t),\ g(t)\ ) \) の間の弧 \( AP \) の長さを \( t \) の関数と見て \(\ s(t)\ \) で表す。
\( t \) の増分を \( \Delta t \) とすると
\(\begin{align}
\qquad \Delta x &= f(\ t + \Delta t\ )\ -\ f( t ) \\
\Delta y &= g(\ t + \Delta t\ )\ -\ g( t ) \\
\Delta s &= s(\ t + \Delta t\ )\ -\ s( t ) \\
\end{align}\)
で、\( s(t) \) の定義により、\( \Delta s \) は\( \Delta t \) と同符号である。
曲線上に点 \(\ Q\ (\ f(t + \Delta t),\ g(t + \Delta t)\ )\ \) をとると、\(\ | \Delta t |\ \) が十分小さい時、弧 \( PQ \) の長さ\(\ | \Delta s |\ \) は
\(\qquad | \Delta s | \fallingdotseq \sqrt{ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 } \)
であり、\( \Delta s \) と \( \Delta t \) は同符号であるから
\(\displaystyle \qquad \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{| \Delta s |}{| \Delta t |} \fallingdotseq \frac{ \sqrt{ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 }}{|\Delta t|} = \sqrt{ \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2 + \left( \frac{\Delta y}{\Delta t} \right)^2 } \)
\( \Delta r \to 0 \) のとき、この \( \fallingdotseq \) の両辺の差は \( 0 \) に近づくから
\(\displaystyle \qquad \frac{ds}{dt} = \sqrt{ \{ f^\prime(t) \}^2 + \{ g^\prime(t) \}^2 } \)
よって、\( s(t) \) は \( t \) の関数 \( \sqrt{ \{ f^\prime(t) \}^2 + \{ g^\prime(t) \}^2 } \) の不定積分の１つで
\(\displaystyle \qquad \int_\alpha^\beta{ \sqrt{ \{ f^\prime(t) \}^2 + \{ g^\prime(t) \}^2 } dt} = \Big[ s(t) \Big]_\alpha^\beta = s(\beta)\ -\ s(\alpha) \)
\( s(\alpha) = 0,\ s(\beta) = L \) であるから、
\(\displaystyle \qquad L = \int_\alpha^\beta{ \sqrt{ \left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2 } dt} \quad = \quad \int_\alpha^\beta{ \sqrt{ \left\{ f^\prime(t) \right\}^2 + \left\{ g^\prime(t) \right\}^2 } dt} \)
が成り立つ。

直交座標

\(
\displaystyle \text{曲線}\quad y = f(x) \quad (a \leqq x \leqq b)\quad \text{の長さ}\quad L\quad は\\
\displaystyle \qquad L = \int_a^b{ \sqrt{ 1 + \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2 } dx} \quad = \quad \int_a^b{ \sqrt{ 1 + \left\{ f^\prime(x) \right\}^2 } dx}\\
\)

曲線の方程式が \(\quad y = f(x)\quad (a \leqq x \leqq b)\quad \) で与えられる場合には
\(\begin{align}
\qquad x &= t, \\
y &= f(t)\quad (a \leqq t \leqq b) \\
\end{align}\)
と考えると、
\(\begin{align}
\displaystyle \qquad \frac{dx}{dt} &= 1 \\
\displaystyle \frac{dy}{dt} &= \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx} = f^\prime(x) \\
\displaystyle dx &= dt \\
\end{align}\)
よって
\(\begin{align}
\displaystyle \qquad L &= \int_\alpha^\beta{ \sqrt{ \left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2 } dt} \\
\displaystyle &= \int_a^b{ \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx} \\
\displaystyle &= \int_a^b{ \sqrt{1 + \left\{ f^\prime(x) \right\}^2} dx} \\
\end{align}\)