定積分と和の極限（区分求積法）
積分法関数 \(\ f(x)\ \) が閉区間 \(\ [a,\ b]\ \) で連続であるとき、この区間を \( n \) 等分して両端と分点を順に \( a = x_0,\ x_1,\ x_2,\ \cdots ,\ x_n = b \) とし、\( \dfrac{b\ -\ a}{n} = \Delta x \) とおくと、\( x_k = a + k \Delta x \) で
\( \displaystyle \qquad \int_a^b{f(x) dx} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n – 1} {f(x_k) \Delta x} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} {f(x_k) \Delta x} \)
特に、\( a = 0,\ b = 1\ \) のとき \( \Delta x = \dfrac{1}{n},\ x_k = \dfrac{k}{n}\ \) で
\( \displaystyle \qquad \int_0^1{f(x) dx} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n – 1} f\left( \dfrac{k}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f\left( \dfrac{k}{n} \right)\)