整式の重解条件
微分法とその応用整式 \( f(x) \) が \( (x\ -\ \alpha)^2 \) で割り切れるための必要十分条件は
\( \quad f(\alpha) = f'(\alpha) = 0 \)
である。
\( (x\ -\ \alpha)^2 \) は２次の式なので、\( f(x) \) を \( (x\ -\ \alpha)^2 \) で割った余りは１次以下の式になる。
\( f(x) \) を \( (x\ -\ \alpha)^2 \) で割った商を \( g(x) \)、余りを \( ax + b \) とすると、
\( \quad f(x) = (x\ -\ \alpha)^2 \cdot g(x) + ax + b \)
であり、
\( \quad f'(x) = 2(x\ -\ \alpha) \cdot g(x) + (x\ -\ \alpha)^2 \cdot g'(x) + a \)
である。
これより、
\(\begin{align}
\qquad \left \{
\begin{aligned} \quad
&f(\alpha)\ &=\ & a \alpha + b \\
&f'(\alpha)\ &=\ & a
\end{aligned}
\right. \end{align}\)
\(\begin{align}
\quad \therefore \quad
\left \{
\begin{aligned} \quad
&a\ &=\ & f'(\alpha)\\
&b\ &=\ & f( \alpha ) – f'(\alpha) \cdot \alpha
\end{aligned}
\right.
\end{align}\)
よって、
\( f(x) \) が \( (x\ -\ \alpha)^2 \) で割り切れる
\(\begin{align} \qquad \Longleftrightarrow \left \{
\begin{aligned} \quad
&a\ &=\ & 0\\
&b\ &=\ & 0
\end{aligned}
\right. \end{align}\)
\(\begin{align} \qquad \Longleftrightarrow \left \{
\begin{aligned} \quad
&f'(\alpha )\ &=\ & 0\\
&f( \alpha )\ -\ f'( \alpha )\ &=\ & 0
\end{aligned}
\right. \end{align}\)
\(\begin{align} \qquad \Longleftrightarrow \left \{
\begin{aligned} \quad
&f'(\alpha )\ &=\ & 0\\
&f( \alpha )\ &=\ & 0
\end{aligned}
\right. \end{align}\)
\( \qquad \Longleftrightarrow f( \alpha ) = f'( \alpha ) = 0 \)