定積分で表された関数
積分法定積分で表された関数
\( a,\ b\ \) は定数、\( x \) は \( t \) に無関係な変数とする。
\(\displaystyle \int_a^b{f(t)\ dt} \) は定数である。
\( f(x) \) の定積分の１つを \( F(x) \) とすると
\(\displaystyle \qquad \int_a^b{f(t)\ dt}\ =\ \Big[ F(t) \Big]_a^b\ =\ F(b)\ -\ F(a) \)
すなわち、\(\displaystyle \int_a^b{f(t)\ dt}\ \) は \( t \) の値に無関係な定数である。
\(\displaystyle \int_a^x{f(t)\ dt} \)、\(\displaystyle \int_a^b{f(x, t)\ dt} \) などは 積分定数 \( t \) に無関係で \( x \) の関数である。
上記と同様に、
\( \displaystyle \qquad \int_a^x{f(t)\ dt}\ =\ F(x)\ -\ F(a) \)
であるから \( \displaystyle \qquad \int_a^x{f(t)\ dt}\ \) は \( t \) に無関係で \( x \) の関数である。
また、積分変数 \( t \) に無関係な変数 \( x \) は \( t \) に関する積分の計算においては定数として扱われるから、定積分 \(\displaystyle \int_a^b{f(x, t)\ dt}\ \) は \( x \) の関数である。
定積分で表された関数の微分
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^x{f(t)\ dt}\ =\ f(x)\qquad a \) は定数
\( f(t) \) の不定積分の1つを \( F(t) \) とすると
\(\displaystyle \qquad \frac{d}{dx} \int_a^x{ f(t)\ dt }\ =\ \{ F(x)\ -\ F(a) \}^\prime\ =\ F^\prime(x)\ =\ f(x) \)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}{f(t)\ dt}\ =\ f( g(x) )\ g^\prime(x)\ -\ f( h(x) )\ h^\prime(x) \qquad x \) は \( t \) に無関係な変数
上記と同様に
\(\begin{eqnarray} \displaystyle
\qquad \frac{d}{dx} \int_{h(x)}^{g(x)}{ f(t)\ dt }\ &=&\ \frac{d}{dx} \{ F(g(x))\ -\ F(h(x)) \} \\
&=&\ F^\prime(g(x))\ g^\prime(x)\ -\ F^\prime(h(x))\ h^\prime(x) \\
&=&\ f(g(x))\ g^\prime(x)\ -\ f(h(x))\ h^\prime(x)
\end{eqnarray}\)